Analisi matematica 5
A.A. 2025/2026
Learning objectives
L'insegnamento intende presentare alcuni argomenti fondamentali dell'Analisi Funzionale. La prima parte si concentrerà sullo studio degli spazi di Lebesgue, cioè spazi di funzioni p-sommabili. La seconda parte sarà dedicata allo sviluppo della teoria degli spazi di Hilbert e degli operatori definiti su di essi.
Expected learning outcomes
Gli studenti prenderanno familiarità con alcuni concetti fondamentali dell'Analisi Funzionale. Al completamento dell'insegnamento, avranno acquisito le competenze necessarie per seguire insegnamenti avanzati in svariate aree disciplinari, come l'Analisi Matematica, la Probabilità, la Geometria, la Fisica Matematica, la Finanza Matematica e l'Analisi Numerica.
Per la fine delle lezioni, gli studenti avranno appreso vari importanti risultati, saranno in grado di presentare dimostrazioni rigorose di questi ed avranno sviluppato la capacità di produrre autonomamente ragionamenti astratti al fine di giustificare enunciati più elementari. A complemento di questa formazione teorica, saranno inoltre capaci di risolvere problemi che richiedano ragionamenti concreti e calcoli espliciti.
Per la fine delle lezioni, gli studenti avranno appreso vari importanti risultati, saranno in grado di presentare dimostrazioni rigorose di questi ed avranno sviluppato la capacità di produrre autonomamente ragionamenti astratti al fine di giustificare enunciati più elementari. A complemento di questa formazione teorica, saranno inoltre capaci di risolvere problemi che richiedano ragionamenti concreti e calcoli espliciti.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Course syllabus and organization
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Spazi di Lebesgue: definizione di spazio Lp, disuguaglianze di Hölder e Minkowski, struttura di spazio normato e completezza, proprietà di separabilità, spazio duale e teorema di rappresentazione di Riesz per spazi Lp, convoluzione ed approssimazione in Lp tramite funzioni lisce, teoremi di compattezza.
2. Spazi di Hilbert: definizione di spazio di Hilbert e sue proprietà fondamentali, ortogonalità e teoremi di proiezione, teorema di rappresentazione di Riesz per spazi di Hilbert e lemma di Lax-Milgram, basi ortonormali, disuguaglianza di Bessel ed identità di Parseval, operatori compatti e teoria spettrale.
2. Spazi di Hilbert: definizione di spazio di Hilbert e sue proprietà fondamentali, ortogonalità e teoremi di proiezione, teorema di rappresentazione di Riesz per spazi di Hilbert e lemma di Lax-Milgram, basi ortonormali, disuguaglianza di Bessel ed identità di Parseval, operatori compatti e teoria spettrale.
Prerequisiti
Analisi Matematica 1, 2, 3 e 4.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni. La frequenza è altamente consigliata.
Materiale di riferimento
Gli argomenti dell'insegnamento sono essenzialmente trattati nei seguenti libri di testo:
- G. Teschl, "Topics in Real Analysis", Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society (di futura pubblicazione), liberamente disponibile su www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ra/
- G. Teschl, "Topics in Linear and Nonlinear Functional Analysis", Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society (di futura pubblicazione), liberamente disponibile su www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/
- E.H. Lieb, M. Loss, "Analysis", Second edition, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 14, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
- E.M. Stein, R. Shakarchi, "Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces", Princeton Lectures in Analysis, Vol. 3, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2005.
- H. Brezis, "Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations", Universitext, Springer, New York, 2011.
- G. Teschl, "Topics in Real Analysis", Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society (di futura pubblicazione), liberamente disponibile su www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ra/
- G. Teschl, "Topics in Linear and Nonlinear Functional Analysis", Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society (di futura pubblicazione), liberamente disponibile su www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/
- E.H. Lieb, M. Loss, "Analysis", Second edition, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 14, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
- E.M. Stein, R. Shakarchi, "Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces", Princeton Lectures in Analysis, Vol. 3, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2005.
- H. Brezis, "Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations", Universitext, Springer, New York, 2011.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consta di una prova scritta ed eventualmente di una prova orale, di natura facoltativa o a discrezione della commissione.
La prova scritta è composta da varie domande volte a valutare la comprensione degli aspetti teorici dell'insegnamento da parte degli studenti e la loro capacità di risolvere esercizi.
La prova orale consiste in una discussione in cui viene principalmente approfondita la parte teorica del programma dell'insegnamento. Ad essa si accede su base volontaria, previo il superamento della prova scritta, o come obbligatorio complemento di questa, se richiesto dai docenti.
La prova scritta è composta da varie domande volte a valutare la comprensione degli aspetti teorici dell'insegnamento da parte degli studenti e la loro capacità di risolvere esercizi.
La prova orale consiste in una discussione in cui viene principalmente approfondita la parte teorica del programma dell'insegnamento. Ad essa si accede su base volontaria, previo il superamento della prova scritta, o come obbligatorio complemento di questa, se richiesto dai docenti.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 36 ore
Lezioni: 36 ore
Docenti:
Cavalletti Fabio, Cozzi Matteo
Professor(s)