Analisi matematica 2
A.A. 2025/2026
Learning objectives
L'insegnamento è finalizzato a fornire nozioni e strumenti esclusivamente di base nell`ambito del calcolo integrale classico per funzioni reali di una o più variabili reali e del calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali.
Expected learning outcomes
Autonomia nell'utilizzo delle principali tecniche di calcolo. Capacità di collegare tra loro diversi aspetti della disciplina.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Course syllabus and organization
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Spazi metrici e loro topologia
Gli spazi euclidei. Prodotti scalari in uno spazio vettoriale e disuguaglianza di Cauchy-
Schwarz. Spazi vettoriali normati . Metrica indotta da una norma.
Spazi metrici: definizione e loro topologia. . Classificazione dei punti negli spazi metrici. Insieme derivato.
Insiemi aperti, insiemi chiusi, loro caratterizzazioni e proprietà. Insiemi compatti.
Condizioni necessarie per la compattezza. Caratterizzazione degli insiemi compatti. Teorema di Heine-
Borel. Limiti di successioni in uno spazio metrico. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Spazi metrici completi. Spazi
di Banach. Completezza di Rn. Completezza degli spazi metrici compatti. Funzioni tra
spazi metrici. Funzioni continue. Funzioni reali continue su uno spazio metrico compatto: il
teorema di Weierstrass e sue generalizzazioni. Funzioni uniformemente continue e teorema
di Heine-Cantor. Funzioni lipschitziane. Il teorema delle contrazioni. Insiemi connessi in Rn.
2. Calcolo differenziale in più variabili
Funzioni a valori reali: derivate direzionali;
vettore gradiente, legami tra derivabilità direzionale e continuità. Differenziabilità: condizioni
necessarie e teorema del differenziale totale. Teorema di Lagrange per funzioni scalari.
Funzioni vettoriali: matrice Jacobiana e differenziabilità. Composizione di funzioni differenziabili.
Derivate parziali seconde, matrice Hessiana; teorema di Schwarz. Derivate parziali di ordine k, funzioni di classe Ck.
Differenziabilità seconda in un punto. Formule di Taylor, con resti secondo Lagrange e Peano.
Ottimizzazione libera per funzioni reali. Lemma di
Fermat, punti stazionari. Utilizzo della matrice Hessiana per la classificazione dei punti estremanti.
Teorema delle funzioni implicite. Teorema di invertibilità locale. Diffeomorfismi
locali e globali. Ottimizzazione vincolata: il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Gli spazi euclidei. Prodotti scalari in uno spazio vettoriale e disuguaglianza di Cauchy-
Schwarz. Spazi vettoriali normati . Metrica indotta da una norma.
Spazi metrici: definizione e loro topologia. . Classificazione dei punti negli spazi metrici. Insieme derivato.
Insiemi aperti, insiemi chiusi, loro caratterizzazioni e proprietà. Insiemi compatti.
Condizioni necessarie per la compattezza. Caratterizzazione degli insiemi compatti. Teorema di Heine-
Borel. Limiti di successioni in uno spazio metrico. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Spazi metrici completi. Spazi
di Banach. Completezza di Rn. Completezza degli spazi metrici compatti. Funzioni tra
spazi metrici. Funzioni continue. Funzioni reali continue su uno spazio metrico compatto: il
teorema di Weierstrass e sue generalizzazioni. Funzioni uniformemente continue e teorema
di Heine-Cantor. Funzioni lipschitziane. Il teorema delle contrazioni. Insiemi connessi in Rn.
2. Calcolo differenziale in più variabili
Funzioni a valori reali: derivate direzionali;
vettore gradiente, legami tra derivabilità direzionale e continuità. Differenziabilità: condizioni
necessarie e teorema del differenziale totale. Teorema di Lagrange per funzioni scalari.
Funzioni vettoriali: matrice Jacobiana e differenziabilità. Composizione di funzioni differenziabili.
Derivate parziali seconde, matrice Hessiana; teorema di Schwarz. Derivate parziali di ordine k, funzioni di classe Ck.
Differenziabilità seconda in un punto. Formule di Taylor, con resti secondo Lagrange e Peano.
Ottimizzazione libera per funzioni reali. Lemma di
Fermat, punti stazionari. Utilizzo della matrice Hessiana per la classificazione dei punti estremanti.
Teorema delle funzioni implicite. Teorema di invertibilità locale. Diffeomorfismi
locali e globali. Ottimizzazione vincolata: il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Prerequisiti
1. Tutti gli argomenti trattati nel corso di Analisi Matematica 1: campi numerici, successioni e serie numeriche, limiti di funzioni, calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali in una variabile reale.
2. Alcuni elementi di algebra lineare (matrici, determinanti, sistemi lineari).
3. Alcuni elementi di geometria analitica (rette e coniche nel piano).
2. Alcuni elementi di algebra lineare (matrici, determinanti, sistemi lineari).
3. Alcuni elementi di geometria analitica (rette e coniche nel piano).
Metodi didattici
L'insegnamento verrà condotto attraverso lezioni ed esercitazioni frontali svolte alla lavagna, eventualmente da due diversi docenti. Saranno previste attività di didattica complementare, mediante ore di tutorato nelle quali saranno svolti e/o commentati da alcuni tutor esercizi proposti in precedenza agli studenti, e sarà possibile svolgere uno studio assistito in piccoli gruppi.
Materiale di riferimento
N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, "Analisi Matematica due", Liguori ed. oppure Zanichelli
C.Maderna, "Analisi Matematica 2" II ediz., CittàStudi ed., 2010.
C.Maderna, P.M.Soardi, "Lezioni di Analisi Matematica II", CittàStudi ed., 1997.
C.D.Pagani, S.Salsa, "Analisi Matematica, v.2", Zanichelli ed., 2016.
B.Gelbaum, J.Olmsted, "Counterexamples in Analysis", Holden-Day.
W.Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill
C.Maderna, "Analisi Matematica 2" II ediz., CittàStudi ed., 2010.
C.Maderna, P.M.Soardi, "Lezioni di Analisi Matematica II", CittàStudi ed., 1997.
C.D.Pagani, S.Salsa, "Analisi Matematica, v.2", Zanichelli ed., 2016.
B.Gelbaum, J.Olmsted, "Counterexamples in Analysis", Holden-Day.
W.Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni quesiti a risposta aperta, dei quali verrà richiesto lo svolgimento dettagliato o schematico, atti a verificare la capacità di risolvere problemi relativi ad argomenti previsti nel programma dell'insegnamento. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Gli esiti delle prove scritte verranno comunicati sul SIFA attraverso il portale UNIMIA. Sono previste due prove intermedie (prove in itinere) in sostituzione alla prova scritta globale.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato una soglia minima prestabilita nella prova scritta dello stesso appello d'esame o dell'appello precedente. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati facenti parte del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
La durata della prova orale dipende dalla velocità di reazione dello studente alle domande proposte (la media attesa è 45 minuti).
L'esame si intende superato se è ritenuto sufficiente il livello di preparazione mostrato dal candidato nel complesso delle due prove. Il voto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni quesiti a risposta aperta, dei quali verrà richiesto lo svolgimento dettagliato o schematico, atti a verificare la capacità di risolvere problemi relativi ad argomenti previsti nel programma dell'insegnamento. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Gli esiti delle prove scritte verranno comunicati sul SIFA attraverso il portale UNIMIA. Sono previste due prove intermedie (prove in itinere) in sostituzione alla prova scritta globale.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato una soglia minima prestabilita nella prova scritta dello stesso appello d'esame o dell'appello precedente. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati facenti parte del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
La durata della prova orale dipende dalla velocità di reazione dello studente alle domande proposte (la media attesa è 45 minuti).
L'esame si intende superato se è ritenuto sufficiente il livello di preparazione mostrato dal candidato nel complesso delle due prove. Il voto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 36 ore
Lezioni: 36 ore
Professor(s)
Ricevimento:
Ufficio 2090, secondo piano, Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
mercoledi' 15.30-17.30
ufficio 2044 (Dipartimento di Matematica, via Saldini 50- II piano)