Analisi armonica
A.A. 2024/2025
Learning objectives
Preparare gli studenti ad affrontare temi di ricerca, o tesi di laurea, nell'ambito dell'analisi di operatori ed equazioni differenziali su varietà differenziabili, Riemanniane e sub-Riemanniane.
Expected learning outcomes
Al termine dell'insegnamento lo studente avrà acquisito le conoscenze dei concetti e dei risultati di base nell'ambito dell'analisi di operatori ed equazioni differenziali su varietà differenziabili, Riemanniane e sub-Riemanniane; inoltre saprà risolvere esercizi inerenti a tale teoria, che richiedono anche capacità computazionali
Periodo: Secondo semestre
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Course syllabus and organization
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Il Teorema Spettrale per Operatori Illimitati
- Primi elementi di calcolo funzionale
- Spettro di un operatore limitato
- Radice quadrata di un operatore positivo
- Misure a valore di proiezione
- Il teorema spettrale per operatori limitati
- Il teorema spettrale per operatori normali limitati
- Operatori illimitati
- La trasformata di Cayley
- Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti illimitati
- Invarianza unitaria
Semigruppi di operatori
- Il teorema di Stone
Operatori Pseudodifferenziali
- Vari tipi di calcolo
- Operatori non-locali
Il Laplaciano frazionario
- La soluzione fondamentale
- Equazioni e funzioni di Bessel
- Il teorema di estensione di Caffarelli-Silvestre
- Primi elementi di calcolo funzionale
- Spettro di un operatore limitato
- Radice quadrata di un operatore positivo
- Misure a valore di proiezione
- Il teorema spettrale per operatori limitati
- Il teorema spettrale per operatori normali limitati
- Operatori illimitati
- La trasformata di Cayley
- Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti illimitati
- Invarianza unitaria
Semigruppi di operatori
- Il teorema di Stone
Operatori Pseudodifferenziali
- Vari tipi di calcolo
- Operatori non-locali
Il Laplaciano frazionario
- La soluzione fondamentale
- Equazioni e funzioni di Bessel
- Il teorema di estensione di Caffarelli-Silvestre
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1, 2, 3 e 4. Elementi di base di Topologia Generale. Elementi base di Algebra Lineare. Elementi di base di Analisi Reale, in particolare è fondamentale la conoscenza e familiarità con gli spazi L^p e gli spazi di Hilbert.
Il corso Analisi di Fourier è fortemente consigliato.
Il corso Analisi di Fourier è fortemente consigliato.
Metodi didattici
L'insegnamento verrà condotto attraverso lezioni frontali svolte alla lavagna.
Materiale di riferimento
-- Note del corso
-- L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer-Verlag Ed., New York 2008
-- L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer-Verlag Ed., New York 2008
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Nel corso del semestre, verrà assegnato come compito a casa lo svolgimento di alcuni esercizi. L'esame finale consiste in una prova orale. Verrà richiesto di illustrare e discutere alcuni risultati facenti parte del programma dell'insegnamento o ad esso direttamente collegabili, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli connettere e applicare correttamente. La durata media della prova orale è di 45 minuti.
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