Equazioni alle derivate parziali
A.A. 2022/2023
Learning objectives
L'insegnamento ha come obiettivo quello di presentare i concetti di base della teoria moderna delle Equazioni alle Derivate parziali.
Expected learning outcomes
Apprendimento delle nozioni di base e delle tecniche per risolvere equazioni alle derivate parziali. Studio dei legami con la teoria degli spazi funzionali e di vari proprietà fondamentali, come principio di massimo, soluzioni deboli e teoria della regolarità.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Course syllabus and organization
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Verranno svolte lezioni sincrone (videolezioni costituite da registrazione del desktop del docente con commento audio) e la loro registrazione sarà disponibile sul sito ariel. Le lezioni verranno svolte a distanza in modalità sincrona utilizzando la piattaforma Zoom. Le modalità e i criteri per partecipare a tali lezioni saranno pubblicate per tempo nelle pagine Ariel dell'insegnamento, come pure tutto il materiale di cui sopra e gli avvisi relativi a qualsiasi aggiornamento legato all'evoluzione della normativa imposta dalla situazione emergenziale.
Gli eventuali esami a distanza saranno svolti seguendo le modalità illustrate sul portale dell'Ateneo. L'esame avrà la medesima struttura di quella di presenza.
Gli eventuali esami a distanza saranno svolti seguendo le modalità illustrate sul portale dell'Ateneo. L'esame avrà la medesima struttura di quella di presenza.
Programma
Equazione di Laplace: soluzioni fondamentali, funzioni di Green, formule di rappresentazione per soluzioni su domini particolari
Spazi di Sobolev: derivate deboli, disuguaglianze di Sobolev ed immersioni continue in spazi L^p di Lebesgue.
Compattezza: il teorema di immersioni compatte di Rellich-Kondrachov.
Equazioni ellittiche lineari del secondo ordine: esistenza ed unicità di soluzioni deboli per il problema di Dirichlet, caratterizzazione degli autovalori del problema di Dirichlet, regolarità di soluzioni deboli, principio di massimo.
Equazione del calore: soluzione fondamentale, formula di rappresentazione per il problema di Cauchy, principio di Duhamel.
Equazioni paraboliche: definizione di soluzioni deboli, approssimazione di Galerkin, esistenza ed unicita' di soluzioni deboli.
Equazioni dell onde: equazione del trasporto, formula di rappresentazione
Equazioni iperboliche: definizione, esistenza ed unicita' di soluzioni deboli.
Spazi di Sobolev: derivate deboli, disuguaglianze di Sobolev ed immersioni continue in spazi L^p di Lebesgue.
Compattezza: il teorema di immersioni compatte di Rellich-Kondrachov.
Equazioni ellittiche lineari del secondo ordine: esistenza ed unicità di soluzioni deboli per il problema di Dirichlet, caratterizzazione degli autovalori del problema di Dirichlet, regolarità di soluzioni deboli, principio di massimo.
Equazione del calore: soluzione fondamentale, formula di rappresentazione per il problema di Cauchy, principio di Duhamel.
Equazioni paraboliche: definizione di soluzioni deboli, approssimazione di Galerkin, esistenza ed unicita' di soluzioni deboli.
Equazioni dell onde: equazione del trasporto, formula di rappresentazione
Equazioni iperboliche: definizione, esistenza ed unicita' di soluzioni deboli.
Prerequisiti
Analisi reale:
spazi di Lebesgue L^p, spazio duale, spazi di Banach e spazi di Hilbert, convergenza debole
consigliato: Analisi funzionale
spazi di Lebesgue L^p, spazio duale, spazi di Banach e spazi di Hilbert, convergenza debole
consigliato: Analisi funzionale
Metodi didattici
Lezioni tradizionali in aula.
Materiale di riferimento
Evans, L.C. - Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, seconda edizione, 2010
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di un'unica prova orale (circa 45 minuti) tesa a verificare le conoscenze teoriche acquisite nel corso e la capacita' acquisita di svolgere esercizi di tipologia simile a quelli proposti durante il corso.
Professor(s)