Elementi di analisi funzionale
A.A. 2022/2023
Learning objectives
L'insegnamento è finalizzato a fornire nozioni e strumenti esclusivamente di base nell'ambito (infinito-dimensionale) dell'analisi funzionale lineare ed è da intendersi come propedeutico ad eventuali insegnamenti successivi.
Expected learning outcomes
Conoscenza delle tecniche basilari dell'Analisi Funzionale e loro impiego nella soluzione di semplici problemi teorici e/o di Matematica applicata.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Course syllabus and organization
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Spazi normati e di Banach, cenni al completamento. Norme equivalenti. Operatori lineari continui, lo spazio degli operatori. Lo spazio duale. Teoremi di Hahn-Banach. Compattezza forte.
Esempi di spazi di Banach (di funzioni o successioni) e loro duali. Cenni agli spazi vettoriali topologici. Topologie deboli, riflessività, compattezza debole e debole-star. Cenni alla metrizzabilità delle topologie deboli.
Teorema di Baire e le sue applicazioni: Principio dell'uniforme limitatezza, Teorema della mappa aperta e Teorema del grafico chiuso. Operatore aggiunto. Operatori compatti. Operatori integrali di Fredholm e di Volterra.
Cenni alla teoria spettrale. Teoria spettrale degli operatori compatti.
Esempi di spazi di Banach (di funzioni o successioni) e loro duali. Cenni agli spazi vettoriali topologici. Topologie deboli, riflessività, compattezza debole e debole-star. Cenni alla metrizzabilità delle topologie deboli.
Teorema di Baire e le sue applicazioni: Principio dell'uniforme limitatezza, Teorema della mappa aperta e Teorema del grafico chiuso. Operatore aggiunto. Operatori compatti. Operatori integrali di Fredholm e di Volterra.
Cenni alla teoria spettrale. Teoria spettrale degli operatori compatti.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1, 2, 3 e 4. Elementi di base di Topologia Generale. Elementi base di Algebra Lineare. Elementi di base di Analisi Reale (spazi L_p, spazi di Hilbert).
Metodi didattici
L'insegnamento verrà condotto attraverso lezioni frontali svolte alla lavagna.
Materiale di riferimento
Verrà fornita una dispensa del corso (in inglese) a cura del docente. Gli eventuali ulteriori riferimenti verranno indicati durante il corso.
Si segnalano in ogni caso per la consultazione:
- M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
- R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
- W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
- W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
Si segnalano in ogni caso per la consultazione:
- M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
- R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
- W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
- W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Nel corso del semestre, verrà assegnato come compito a casa lo svolgimento di alcuni esercizi. L'esame finale consiste in una prova orale. Verrà richiesto di illustrare e discutere alcuni risultati facenti parte del programma dell'insegnamento o ad esso direttamente collegabili, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli connettere e applicare correttamente.
La durata media della prova orale è di 45 minuti.
Il voto proposto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
La durata media della prova orale è di 45 minuti.
Il voto proposto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Educational website(s)
Professor(s)
Ricevimento:
si veda la pagina personale del docente.
Via saldini, 50, II piano (vicino all'ascensore)