Gruppi di lie
A.A. 2019/2020
Learning objectives
L'insegnamento si propone di fornire le conoscenze di base sui gruppi di Lie e sulle algebre di Lie.
Expected learning outcomes
I risultati di apprendimento attesi sono la conoscenza e la capacità di saper utilizzare i gruppi di Lie e le loro proprità topologiche e differenziali fondamentali.
Periodo: Secondo semestre
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Course syllabus and organization
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
_ Richiami di Geometria differenziale: Campi Vettoriali e flussi associati;
_ Distribuzioni Involutive e Integrabili e Teorema di Frobenius;
_ Definizione di Gruppo di Lie e primi esempi;
_ Considerazioni sui rivestimenti di Gruppi di Lie;
_ Gruppo fondamentale di gruppi di Lie;
_ Algebre di Lie, Campi invarianti a destra e a sinistra;
_ Teoremi sui gruppi di Lie e algebre: corrispondenze;
_ Rappresentazione Ad e ad, Forma di Killing;
_ Considerazioni sui gruppi di Lie abeliani;
_ Classificazione dei gruppi di Lie semplici.
AZIONI DI GRUPPI DI LIE
_ Azioni libere e proprie;
_ Azioni di gruppi compatti. Gruppi unimodulari. Esistenza di Misure di Haar;
_ Il teorema della Slice e idee della dimostrazione;
_ Classificazione delle orbite;
_ Varietà simplettiche, richiami su fibrati principali e fibrati associati;
_ Azioni Hamiltoniane, mappa momento;
_ Riduzioni simplettiche, Teorema di Marsden-Weintein;
_ Varieta Simplettiche Toriche, Teorema di Delzant.
_ Distribuzioni Involutive e Integrabili e Teorema di Frobenius;
_ Definizione di Gruppo di Lie e primi esempi;
_ Considerazioni sui rivestimenti di Gruppi di Lie;
_ Gruppo fondamentale di gruppi di Lie;
_ Algebre di Lie, Campi invarianti a destra e a sinistra;
_ Teoremi sui gruppi di Lie e algebre: corrispondenze;
_ Rappresentazione Ad e ad, Forma di Killing;
_ Considerazioni sui gruppi di Lie abeliani;
_ Classificazione dei gruppi di Lie semplici.
AZIONI DI GRUPPI DI LIE
_ Azioni libere e proprie;
_ Azioni di gruppi compatti. Gruppi unimodulari. Esistenza di Misure di Haar;
_ Il teorema della Slice e idee della dimostrazione;
_ Classificazione delle orbite;
_ Varietà simplettiche, richiami su fibrati principali e fibrati associati;
_ Azioni Hamiltoniane, mappa momento;
_ Riduzioni simplettiche, Teorema di Marsden-Weintein;
_ Varieta Simplettiche Toriche, Teorema di Delzant.
Prerequisiti
Prerequisiti: Gruppo fondamentale, Rivestimenti, Topologia generale. Teorema del Dini e Teorema di esistenza e unicità delle soluzioni per il Problema di Cauchy.
Risultati vari di Geometria 4
Teoria dei Rivestimenti
Risultati vari di Geometria 4
Teoria dei Rivestimenti
Metodi didattici
Lezioni frontali in cui vengono presentati esempi ed esercizi a completamento dei risultati teorici
Materiale di riferimento
M. Alexandrino R. Bettiol: Lie Groups and Geometric aspects of isometric Actions
Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
Gallot la Fontaine Hulin "Riemannian Geometry"
Kobayashi Nomizu "Foundation of Differential Geometry I e II"
Brocker-Tom Dieck "Representations of compact Lie groups"
Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
Gallot la Fontaine Hulin "Riemannian Geometry"
Kobayashi Nomizu "Foundation of Differential Geometry I e II"
Brocker-Tom Dieck "Representations of compact Lie groups"
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in una prova orale tesa a verificare le conoscenze teoriche acquisite nel corso; é possibile che una alternativa sia quella di far discutere di un elaborato (progetto) svolto dallo studente, eventualmente in gruppo, su tematiche proposte.