Fisica matematica 2

Il corso affronta gli argomenti di base della teoria delle equazioni a
derivate parziali della fisica matematica. Si articola in vari
capitoli.

1- Equazione del trasporto. Shock nell'equazione di Burgers inviscida
(trasporto non lineare). Classificazione delle equazioni del secondo
ordine in due variabili indipendenti a coefficienti costanti
(riduzione a equazione Calore, Laplace e Onde)

2- Equazione del calore in una dimensione
spaziale. Deduzione. Principio del massimo per il problema su un
rettangolo nel piano (x,t). Suo uso per dimostrare l'unicità delle
soluzioni. Monotonia dell'energia. Simmetrie dell'equazione su tutto
R. Soluzione fondamentale. Suo uso per la costruzione della soluzione
generale del problema di Cauchy. Soluzione dell'equazione con
condizioni di Dirichlet su un segmento: separazione di variabili,
rappresentazione della soluzione tramite serie.

3- Equazione delle onde in una dimensione spaziale. Soluzione
dell'equazione su una semiretta. Soluzione dell'equazione con
condizioni di Dirichlet su un segmento: separazione di variabili,
rappresentazione della soluzione tramite serie.

4- Serie di Fourier. Definizione. Convergenza puntuale, uniforme ed in
norma elle2. Applicazione alla soluzione dell'equazione di Laplace nel
piano (separazione di variabili). L'equazione su una semiretta con
condizioni periodiche nel tempo: la cantina

5- Equazioni ellittiche. Sistemi fisici descritti dall'equazione di
Laplace e da quella di Poisson. Soluzione dell'equazione di Laplace
per domini dalla forma semplice. Formula di Poisson. Formule di
Green.Principio del massimo, e applicazioni. Proprietà variazionali
dell'equazione. Funzioni di Green e proprieta' di regolarita' delle
soluzioni.

6- Equazioni dei fluidi. Deduzione dell'equazione di continuità' e
dell'equazione di Eulero dei fluidi. Propagazione del suono. Moti
irratozionali, teorema di Bernoulli. Effetti fisici. Equazione delle
onde di supercifie. Piccole oscillazioni del pelo libero.

7- Equazione delle onde in 3-d. Formula di Kirchoff (o delle medie
sferiche). Conservazione dell'energia e principio di
causalità. Formula di variazione delle costanti arbitrarie. Soluzione
dell'equazione non omogenea. Formula dei potenziali ritardati.

8-Elettromagnetismo. Equazioni di Maxwell Lorentz per il campo
elettromagnetico in interazione con una particella. Conservazione
dell'energia. Potenziali elettromagnetici, equazioni delle onde in
gauge di Lorentz. Soluzione nel caso di moto assegnato della
particella. Formula di Hertz per l'emissione di una carica in moto
accelerato in approssimazione di dipolo (l'energia irraggiata è
proporzionale all'accelerazione).