Analisi matematica 2

Calcolo integrale (secondo Riemann) per f: R-->R
Antiderivazione: l'integrale indefinito e le principali tecniche per il calcolo delle funzioni primitive. Riemann-integrabilità per f:[a,b]-->R e l'integrale definito. Significato geometrico dell'integrale. Condizioni di integrabilità. Proprietà dello spazio delle funzioni integrabili e dell'integrale. Teorema del valor medio. La funzione integrale e le sue proprietà. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e le sue conseguenze. Calcolo degli integrali definiti. Integrali impropri, condizioni di convergenza, criterio del confronto. Funzioni integrali: studio qualitativo del grafico. Formula di Taylor con resto integrale. Relazioni tra integrali e serie numeriche.
Calcolo differenziale per f: Rn-->Rm
Limiti, continuità e problematiche connesse. Derivate direzionali. Vettore gradiente e matrice jacobiana. Differenziabilità. Iperpiano tangente. Condizioni necessarie e/o sufficienti per la differenziabilità. Composizione di funzioni differenziabili. Diffeomorfismi tra aperti di Rn. Derivate seconde, matrice hessiana, teorema di Schwarz, le funzioni di classe C2. La formula di Taylor. Ottimizzazione libera. Stazionarietà, punti estremanti e di sella. Utilizzo della matrice hessiana per la classificazione dei punti stazionari.
Integrale Riemann per funzioni reali di più variabili reali. Integrazione secondo Riemann sul prodotto cartesiano di intervalli reali: definizione e tecniche di riduzione per il calcolo. Cenni alla misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann su domini ammissibili: definizione, integrabilità e calcolo per domini semplici. Cambiamento di variabili, in particolare sistemi di coordinate polari, cilindriche e sferiche.